Играл за нижнетагильский «Металлург» (1957–1960), свердловский СКА (1960–1964), первоуральский «Уральский трубник» (1966–1967). Всего в чемпионатах страны (А) провёл не более 99 матчей, забил не менее 8 мячей.

Второй призёр чемпионата СССР 1961. Третий призёр 1964. Победитель Спартакиады народов РСФСР 1961.

Играл в хоккей с шайбой за нижнетагильский «Уралец» в 1964–1966.

Тренер нижнетагильского «Металлурга» (2000–2011).

Все пятеро детей в семье Старцевых серьёзно занимались спортом. Старший брат Виталий был чемпионом области по классической борьбе, сестра Галина выполнила норматив мастера спорта в скоростном беге на коньках. Три других брата увлекались хоккеем. Александр и Леонид большую часть карьеры играли в хоккей с мячом, а Владимир отдал предпочтение хоккею с шайбой, он известен любителям спорта по выступлениям за «Звезду», «Сибирь» и «Автомобилист».

Александр Старцев выступал за нижнетагильский «Металлург», был капитаном команды. Спустя несколько лет компанию ему составил Леонид, который был младше на шесть лет. Наставник знаменитой армейской команды Свердловска Иван Балдин, что называется, «держал на карандаше» всех перспективных тагильчан. В их число попали и 20-летние Юрий Варзин и Леонид Старцев, но в 1960-м мэтр тренерского цеха считал, что до уровня чемпионов они просто не доросли.

В этот момент в Нижний Тагил приехал тренер хабаровского СКА Георгий Хрульков. Он навестил своего бывшего одноклубника Юрия Черемных и тот порекомендовал ему Варзина, Старцева, а также Анатолия Фролова. Предварительная договоренность об отъезде всех троих на Дальний Восток была достигнута, однако в назначенный день на вокзал явился только Фролов: узнав о визите в Тагил Хрулькова, Балдин «сыграл на опережение». Так Варзин и Старцев оказались в Свердловске. Что же касается Фролова, то о нём Иван Иванович просто не знал, поскольку Анатолий выступал за нижнетагильский «Авангард» в турнирах по хоккею с шайбой.

– Варзин в свердловском СКА сразу в состав пробился, – вспоминает Анатолий Фролов. – А вот Старцеву стоило бы вместе со мной в Хабаровск поехать, там бы он быстрее опыта набрался.

Тем не менее, Леонид со временем заиграл и в Свердловске. В составе СКА он провёл четыре сезона.

– Лёня играл у нас на борту, – рассказывает его знаменитый одноклубник Валентин Хардин. – Отличался самоотверженностью, хорошо действовал в отборе. Что касается атаки, то у нас было кому разыгрывать комбинации и завершать их.

Летом 1964-го Старцев уехал в Нижний Тагил, где стал играть за местный «Уралец» в хоккей с шайбой в одной тройке со своими братьями Александром и Владимиром. Спустя два года Леонид вернулся в хоккей с мячом, провёл сезон в первоуральском «Трубнике». На этом он завершил выступления и стал работать на металлургическом комбинате в Нижнем Тагиле.

В начале века усилиями двух братьев Старцевых в Нижнем Тагиле был возрождён «Металлург», выступавший в первой лиге первенства России. Александр Нестерович занимался организационными вопросами, а Леонид Нестерович передавал свой богатый игровой опыт молодёжи.