Играл за нижнетагильский «Металлург» (1960–1962), хабаровский СКА (1963–1967), первоуральские команды «Уральский трубник» (1967–1975) и «Хромпик» (1975–1976). Всего в чемпионатах страны (А) провёл 258 матчей, забил 27 мячей.    

Играл в хоккей с шайбой за нижнетагильский «Уралец» в 1962–1963, в хоккей на траве за «Уральский трубник» в 1969–1975. Третий призёр чемпионата СССР 1972.

Тренер «Уральского трубника» (1976–1978). Главный тренер нижнетагильского «Строителя» (1978–1979, 1980–1981), краснотурьинского «Маяка» (1979–1980, 1990–октябрь 1991), биробиджанского «Дальсельмаша» (1981–1983, 1984–1986), полевского «Северского трубника» (1983–1984), баранчинской «Энергии» (1989–1990), команды по хоккею на траве нижнетагильского ДСК (1986–1989).

Александр Пузырёв начинал свою карьеру в нижнетагильском «Металлурге». Сыграл он там два года, после чего сменил специализацию и провёл сезон в другой команде своего родного города – «Уралец», выступавшей в соревнованиях по хоккею с шайбой. Затем пришла пора службы в армии. Так Пузырёв оказался на Дальнем Востоке, где попал в хабаровский СКА. Было бы преувеличением назвать Александра ведущим игроком армейцев, но в команде его ценили: за надёжность, самоотверженность, строгое соблюдение игровой дисциплины. Не повезло Пузырёву разве что с наградами. В 1964-м армейцы завоевали серебро чемпионата СССР, на следующий год – бронзу, однако в обоих случаях Александр на медаль не наиграл. В двух следующих сезонах в основном составе он выступал уже постоянно, но вот команда дважды подряд финишировала только четвёртой.

Летом 1967-го Пузырёв вернулся в родные края и стал настоящей находкой для «Уральского трубника». Играл на месте полузащитника – это всегда огромный объём работы на поле. А при врождённом старании и добросовестности Пузырёва – ещё и большие нагрузки. Он всегда был в «форме», всегда полностью отдавался игре, поспевая помогать и нападающим, и защитникам.

Ещё будучи игроком Пузырёв закончил отделение физвоспитания педагогического института, что помогло ему в дальнейшей работе. Если говорить о тренерской карьере, то наиболее удачной можно считать его деятельность в биробиджанском «Дальсельмаше».

– Я занимался в Нижнем Тагиле футболом в «Уральце» и хоккеем с мячом – в «Строителе», – вспоминает нынешний наставник «Трубника» Алексей Жеребков. – Осенью 1984 года меня пригласили тренироваться с футбольной командой мастеров «Уральца». Но я решил, что поеду в Биробиджан вместе со свои детским тренером Пузырёвым, которого пригласили возглавить «Дальсельмаш».

При Пузырёве команда стала одной из ведущих в первой лиге, в ней заметно прогрессировали Евгений Березовский, Алексей Жеребков, Руслан Шувалов, Игорь Осипов, Васил Гисматуллин  – в будущем заметные игроки элитного дивизиона. Александра Иосифовича отличали сдержанность, интеллигентность, большой такт в отношениях с подопечными.

Сердце Пузырёва остановилось после третьего инфаркта – именно в тот день Александру Иосифовичу исполнился всего 51 год...

С использованием материала С.Пагнуева