Играл за нижнетагильский «Металлург» (1957–1960 гг.), свердловский СКА (1960–1965), алмаатинское «Динамо» (1965–декабрь 1973), карагандинский «Литейщик» (1974–1975), омскую «Юность» (1975–1976). Всего в чемпионатах страны (А) провёл не более 306 матчей, забил не менее 302 мячей.

Чемпион СССР 1962. Второй призёр 1961, 1963, 1965, 1973. Третий призёр 1964, 1966, 1967, 1971.  Победитель Спартакиады народов РСФСР 1961. Чемпион РСФСР 1976. Третий призёр 1959. В списке «22 лучших игроков сезона» в 1961–1964, 1971, 1973.

В сборной СССР (1961–1967) – 14 матчей, 10 мячей. Чемпион мира 1961, 1963, 1965, 1967 (10 матчей, 7 мячей).

Играл в хоккей на траве за алмаатинское «Динамо» (1969–1973). Чемпион СССР 1972, 1973. Второй призёр 1970, 1971. В списке «22 лучших игроков сезона» в 1971–1973.

Хоккейный талант Юрия Варзина проявился очень рано. Он держал клюшку в левой руке, отличался высокой скоростью и фирменным финтом «улитка», который больше никто не смог повторить. Кроме того, благодаря очень точному и резкому удару слева, Варзин регулярно огорчал вратарей соперников. Показатель его результативности (в среднем – примерно один гол за матч) считается гроссмейстерским. В знаменитый армейский клуб он попал в 20 лет и сумел сразу же пробиться в основной состав. Он заиграл на левом краю атаки, а выступавший на этой позиции ранее Александр Измоденов перешёл на позицию левого полусреднего.

К неполным 25 годам Варзин успел трижды стать чемпионом мира. Но весной 1965-го из-за конфликта с лидером СКА Валентином Атаманычевым он решил уехать в другой город. Поначалу Юрий хотел отправиться в Иркутск, но проявивший предприимчивость наставник алмаатинского «Динамо» Эдуард Айрих переубедил талантливого форварда.

Варзин сразу же стал лидером атак своего нового клуба. У него учились знаменитые в будущем форварды алмаатинцев Валерий Бочков, Борис Чехлыстов, Александр Ионкин. Неслучайно, что с приходом Юрия динамовцы впервые в истории стали призёрами чемпионата, завоевав бронзу. Этот же успех они повторили на следующий год, а сам Варзин в четвёртый раз выиграл золото мирового форума.

В следующем чемпионате СССР уже во втором туре лидер атак «Динамо» получил тяжелейшую травму – разрыв ахилла и выбыл из строя до конца сезона. Год спустя он вернулся в строй, прежнюю форму набирал долго и трудно. Постепенно Варзин несколько изменил стиль игры: атаковал он теперь больше из глубины поля, стал чаще играть в пас, выводя на ворота своих партнёров. Сократили игровой век Юрия нередкие нарушения режима. Человек он был добрый, душевный и зачастую не мог отказать боготворившим своего кумира болельщикам. В итоге в 33 года знаменитый мастер был отчислен из «Динамо»…

Юрий Варзин был разносторонним спортсменом. Он неплохо играл в футбол и быстро освоил в хоккей на траве. В 1970 году он был в составе сборной СССР, дебютировавшей на чемпионате Европы в Брюсселе. Хорошо играл в летний хоккей и сын Варзина, Михаил, дважды становившийся чемпионом страны.

Увы, судьба отметила обоим недолгий век. Юрию Фёдоровичу было всего 44 года, когда он скончался от сердечного приступа. Михаил прожил и того меньше – неполных 38 лет.